1. Lý thuyết

+ Định nghĩa:

Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai💎 ẩn nếu nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình tr🧜ong hệ.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các điểm ཧ\(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của hệ bất phương trình đó.

+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng mặt phẳng tọa độ. Gạch bỏ miền không là nghiệm.Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

+ Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\)Bước 2: Lấy điểm \(A({x_0};{y_0})\) không thuộc \(\Delta \). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) rồi so sánh với c.Bước 3: Kết luậnNếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).

2. Ví dụ minh họa

+ Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Cặp số \((7;0)\) là một nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)Cặp số \((0;0)\) không là nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\) Điểm \((2;1)\) thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\2x - 3y < 10\end{array}\\{x + 2y \le 7}\end{array}} \right.\)Điểm \(( - 1;0)\) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\2x - 3y < 10\end{array}\\{x + 2y \le 7}\end{array}} \right.\)

 + Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 2\\3x + y \le 6\end{array} \right.\)

Bước 1:

• Xác định miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\)

Vẽ đường thẳng \(\Delta :2x - y = 2\) (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(\Delta \). Ta có \(2.0 - 0 = 0\) và \(c = 2\).Vì  \(2.0 - 0 = 0 < 2\) nên điểm \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.Vậy miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

 

• Xác định miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\)

Vẽ đường thẳng \(d:3x + y = 6\) (nét liền) đi qua (2;0) và (0; 6).Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(d\). Ta có \(3.0 + 0 = 0\) và \(c = 6\).Vì  \(3.0 + 0 = 0 \le 6\) nên điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm.Vậy miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(d\)) chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

 

Bước 2: Kết luậnMiền không bị gạch (kể cả d, không kể \(\Delta \)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.