Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\), bán kính 1 cm. Đặt \(\widehat A = \alpha \left( {0 < \alpha  < \pi } \right)\). a) Viết biểu thức tính diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) theo \(\alpha \). b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác \(ABC\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có: \(\widehat {MOC} = 2\widehat {OAC} = \widehat {BAC} = \alpha \). Do đó: \(AM = AO + OM = 1 + \cos \alpha ,BC = 2MC = 2\sin a\). Suy ra: \(\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}AM.BC = \frac{1}{2}2\sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right) = \sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right)\\ = \sin \alpha  + \sin \alpha \cos \alpha  = \sin \alpha  + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \end{array}\) b) Xét hàm số \(S\left( \alpha  \right) = \sin \alpha  + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Ta có: \(S'\left( \alpha  \right) = \cos \alpha  + \frac{1}{2}.2\cos 2\alpha  = \cos \alpha  + \cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  + \cos \alpha  - 1\) \(S'\left( \alpha  \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2}\) hoặc \(\cos \alpha  =  - 1\) \(\alpha  = \frac{\pi }{3}\) hoặc \(\alpha  = \pi \) (loại) Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\pi } \right)} S\left( \alpha  \right) = S\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\). Vậy tam giác \(ABC\) có diện tích lớn nhất bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\).