Đề bài

Cho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.

Lời giải chi tiết

Xét hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB\), gọi \(H,K\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ \(A\) và \(B\) xuống \(CD\). Ta có: \(C{\rm{D}} = 5 + 2{\rm{x}},AH = \sqrt {A{{\rm{D}}^2} - D{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {x^2}}  = \sqrt {25 - {x^2}} \) Diện tích hình thang là: \(S = \frac{1}{2}\left( {AB + C{\rm{D}}} \right).AH = \frac{1}{2}\left( {5 + 5 + 2{\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}}  = \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} \) Do \(DH < AD\) nên \({\rm{x}} < 5\). Xét hàm số \(S\left( x \right) = \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} \) trên nửa khoảng \(\left[ {0;5} \right)\). Ta có: \(S'\left( x \right) = {\left( {5 + {\rm{x}}} \right)^\prime }.\sqrt {25 - {x^2}}  + \left( {5 + {\rm{x}}} \right).{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {25 - {x^2}}  + \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\frac{{ - {\rm{x}}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} - 5x + 25}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\) \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x =  - 5\) (loại) Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {0;5} \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right)} S\left( x \right) = S\left( {\frac{5}{2}} \right) = \frac{{75\sqrt 3 }}{4}\). Vậy hình thang cân \(ABCD\) có diện tích lớn nhất bằng \(\frac{{75\sqrt 3 }}{4}\).