Đề bài

Cho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a\). Do \(a,b\) không âm nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b = 4 - a \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le a \le 4\). Ta có: \({a^4} + {b^4} = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\). Đặt \(f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\) Xét hàm số \(f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Ta có: \(f'\left( a \right) = 4{a^3} - 4{\left( {4 - a} \right)^3}\) \(f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow {a^3} = {\left( {4 - a} \right)^3} \Leftrightarrow a = 4 - a \Leftrightarrow a = 2\). \(f\left( 0 \right) = 256;f\left( 2 \right) = 32;f\left( 4 \right) = 256\) Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( a \right) = f\left( 2 \right) = 32\). Vậy \(\min \left( {{a^4} + {b^4}} \right) = 32 \Leftrightarrow a = 2\) và \(b = 2\).