Đề bài

Giá bán \(P\) (đồng) của một sản phẩm thay đổi theo số lượng \(Q\) sản phẩm \(\left( {0 \le Q \le 1500} \right)\) được cung cấp ra thị trường theo công thức \(P = \sqrt {1500 - Q} \). Tính số lượng sản phẩm nên được cung cấp ra thị trường để doanh thu \(R = PQ\) lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Doanh thu: \(R = PQ = Q\sqrt {1500 - Q} \) Xét hàm số \(R\left( Q \right) = Q\sqrt {1500 - Q} \) trên đoạn \(\left[ {0;1500} \right]\). Ta có: \(R'\left( Q \right) = Q'.\sqrt {1500 - Q}  + Q.{\left( {\sqrt {1500 - Q} } \right)^\prime } = \sqrt {1500 - Q}  + Q.\frac{{ - 1}}{{\sqrt {1500 - Q} }} = \frac{{ - 3{\rm{x}} + 3000}}{{2\sqrt {1500 - Q} }}\) \(R'\left( Q \right) = 0 \Leftrightarrow Q = 1000\) hoặc \(x =  - 4\) (loại) \(R\left( 0 \right) = 0;R\left( {1000} \right) = 10000\sqrt 5 ;R\left( {1500} \right) = 0\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1500} \right]} R\left( Q \right) = R\left( {1000} \right) = 10000\sqrt 5 \). Vậy cần cung cấp ra thị trường 1000 sản phẩm để doanh thu lớn nhất.