Đề bài

Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng \(x\) (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm \(x\) để thể tích của hình hộp là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có: Cạnh của hộp là: \(12 - 2{\rm{x}}\left( {cm} \right)\). Chiều cao của hộp là: \({\rm{x}}\left( {cm} \right)\). Thể tích của hộp là: \(V\left( x \right) = x{\left( {12 - 2{\rm{x}}} \right)^2} = 4{{\rm{x}}^3} - 48{{\rm{x}}^2} + 144{\rm{x}}\left( {c{m^3}} \right)\). Vì cạnh của hộp không âm nên \(12 - 2{\rm{x}} \ge 0 \Leftrightarrow x \le 6\) Xét hàm số \(V\left( x \right) = 4{{\rm{x}}^3} - 48{{\rm{x}}^2} + 144{\rm{x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;6} \right]\). Ta có: \(V'\left( x \right) = 12{{\rm{x}}^2} - 96{\rm{x}} + 144\) \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\) hoặc \(x = 2\). \(V\left( 0 \right) = 0;V\left( 2 \right) = 128;V\left( 6 \right) = 0\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;6} \right]} V\left( x \right) = V\left( 2 \right) = 128\). Vậy với \(x = 2\left( {cm} \right)\) thì thể tích của hình hộp là lớn nhất.