Đề bài

Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất \(x\) (kg) thành phẩm được cho bởi hàm số \(C\left( x \right) = 2{x^3} - 30{x^2} + 177x + 2592\) (nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng là 20 kg trong một ngày. Khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất?

Lời giải chi tiết

Tổng số tiền bán sản phẩm của xưởng là: \(513{\rm{x}}\) (nghìn đồng) Lợi nhuận thu được của xưởng là: \(P\left( x \right) = 513{\rm{x}} - C\left( x \right) = 513{\rm{x}} - \left( {2{x^3} - 30{x^2} + 177x + 2592} \right) =  - 2{x^3} + 30{x^2} + 336x - 2592\) Xét hàm số \(P\left( x \right) =  - 2{x^3} + 30{x^2} + 336x - 2592\) trên đoạn \(\left[ {0;20} \right]\). Ta có: \(P'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 60x + 336\) \(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 14\) hoặc \(x =  - 4\) (loại) \(P\left( 0 \right) =  - 2592;P\left( {14} \right) = 2504;P\left( {20} \right) = 128\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;20} \right]} P\left( x \right) = P\left( {14} \right) = 2504\). Vậy khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong một ngày là 14 kg để lợi nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất.