Đề bài

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi O là giao điểm của DE và BC. Biết OD = OE. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

 

Qua D vẽ DK // AC (K ∈ BC) nên \(\widehat {KDO} = \widehat {OEC}\) (hai góc so le trong).Xét DOKD và DOCE có:\(\widehat {KDO} = \widehat {OEC}\) (chứng minh trên),OD = OE (giả thiết),\(\widehat {DOK} = \widehat {EOC}\) (hai góc đối đỉnh).Do đó ∆OKD = ∆OCE (g.c.g).Suy ra KD = CE (hai cạnh tương ứng).Mặt khác BD = CE suy ra DB = DK hay tam giác DBK cân tại D.Suy ra \(\widehat {DBK} = \widehat {DKB}\) (1)Do DK // AC nên \(\widehat {DKB} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) (2)Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)Suy ra tam giác ABC cân tại A.Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.