Đề bài

Cho Hình 37ꦰ có AB = AC = BC = BD = CE, \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE} = 90^\circ \)

 

a) Chứng minh tam giác AED là tam giác cân. b) Tính số đo các góc của tam giác ADE. c) Chứng minh DC = BE

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE} = 90^\circ \) (giả thiết),AB = AC (giả thiết),BD = CE (giả thiết).Do đó ∆ABD = ∆ACE (hai cạnh góc vuông)Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).Nên tam giác AED cân tại A.Vậy tam giác AED cân tại A.b) • Vì AB = AC = BC (giả thiết) nên tam giác ABC đều.Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC} = 60^\circ \).Vì AC = CE , \(\widehat {ACE} = 90^\circ \) (giả thiết) nên tam giác ACE vuông cân tại C.Suy ra \(\widehat {CEA} = \widehat {CAE} = \frac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \)Vì AB = BD , \(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (giả thiết) nên tam giác ABD vuông cân tại B.Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA} = \frac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \) Ta có \(\widehat {DAE} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 45^\circ  + 60^\circ  + 45^\circ  = 150^\circ \)• Vì tam giác AED cân tại A nên \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\)Xét ∆ADE có: \(\widehat {ADE} + \widehat {AED} + \widehat {DAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác) Mà \(\widehat {EAD} = 150^\circ \), \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\)Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ  - 150^\circ }}{2} = 15^\circ \)Vậy ∆ADE có \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = 15^\circ ,\widehat {EAD} = 150^\circ \)c) Ta có \(\widehat {DBC} = \widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 60^\circ  + 90^\circ  = 150^\circ \) ; \(\widehat {BCE} = \widehat {ACB} + \widehat {ACE} = 60^\circ  + 90^\circ  = 150^\circ \)Xét ∆CBD và ∆BCE có:BC là cạnh chung,\(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {BCE}\) (cùng bằng 150°),BD = CE (giả thiết),Do đó ∆BDC = ∆CEB (c.g.c).Suy ra DC = EB (hai cạnh tương ứng)Vậy DC = BE.