Đề bài

Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao cho AD = CF = BE. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

 

Vì tam giác ABC đều (giả thiết)Nên AB = BC = AC và \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)Ta có AB = AE + BE, AC = AD + DC, BC = BF + FCMà AB = BC = AC, AD = CF = BE.Suy ra AE = BF = CD.• Xét ∆ADE và ∆BEF có:AD = BE (giả thiết),\(\widehat {DAE} = \widehat {FBE}\) (cùng bằng 60°),AE = BF (chứng minh trên).Do đó ∆ADE = ∆BEF (c.g.c).Suy ra DE = EF (hai cạnh tương ứng) (1)• Xét ∆CFD và ∆BEF có:CF = BE (giả thiết),\(\widehat {FCD} = \widehat {EBF}\) (cùng bằng 60°),CD = BF (chứng minh trên).Do đó ∆CFD = ∆BEF (c.g.c).Suy ra FD = EF (hai cạnh tương ứng) (2)Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FD.Do đó tam giác DFE đều.Vậy tam giác DEF là tam giác đều.