Đề bài

Cho tam giác MNP cân tại P. Lấy điểm A trên cạnh PM, điểm B trên cạnh PN sao cho PA = PB. Gọi O là giao điểm của NA và MB. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

Vì ∆MNP cân tại P nên ta có:PM = PN (hai cạnh bên), \(\widehat {PMN} = \widehat {PNM}\) (hai góc ở đáy).Ta có PM = PA + AM, PN = PB + BN.Mà PM = PN (chứng minh trên), PA = PB (giả thiết).Suy ra AM = BN.Xét ∆AMN và ∆BNM có:AM = BN (chứng minh trên),MN là cạnh chung,\(\widehat {AMN} = \widehat {BNM}\) (do \(\widehat {PMN} = \widehat {PNM}\))Do đó ∆AMN = ∆BNM (c.g.c).Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {BMN}\) (hai góc tương ứng).Hay \(\widehat {ONM} = \widehat {OMN}\)Do đó tam giác ONM cân tại O.Vậy tam giác OMN là tam giác cân tại O.