Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {BAC} = 120^\circ \)♏ Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA, CE = CA.

♉a) Chứng minh các tam giác BAD, CAE, AED là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADE.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA}\) (hai góc ở đáy).Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.Suy ra \(\widehat {CAE} = \widehat {CEA}\) (hai góc ở đáy).Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)• Xét ∆ABC có: \(\widehat {BAC} + \widehat {CBA} + \widehat {BCA} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)Mà \(\widehat {BAC} = 120^\circ \) (giả thiết), \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \)• Xét ∆ABD có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DBA} + \widehat {BDA} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)Mà \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA}\), \(\widehat {BAD} = \widehat {BDA}\)Suy ra \(\widehat {ADB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {ABD}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \)• Xét ∆ACE có: \(\widehat {ACE} + \widehat {AEC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác) Mà \(\widehat {CAE} = \widehat {CEA}\),  \(\widehat {CAE} = \widehat {CEA}\)Suy ra \(\widehat {AEC} = \frac{{180^\circ  - \widehat {ACE}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \).Xét tam giác ADE có \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\) (cùng bằng 75°).Suy ra tam giác AED cân tại A.Vậy ∆ABD cân tại B, ∆ACE cân tại C và ∆AED cân tại A.b) Xét ∆ADE có: \(\widehat {ADE} + \widehat {AED} + \widehat {DAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)Suy ra \(\widehat {DAE} = 180^\circ  - \widehat {ADE} - \widehat {AED} = 180^\circ  - 75^\circ  - 75^\circ  = 30^\circ \)Vậy ∆ADE có \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = 75^\circ ,\widehat {EAD} = 30^\circ .\)