Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC. a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD. b) Tính tỉ số \(\frac{{KC}}{{CD}}\).

Lời giải chi tiết

a) Qua M kẻ MH// BC, MI // AD. mp(P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC. Suy ra mp(P) chứa MH và MI. Ta có:  \(\begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap (P) = MH\\\left( {ABC} \right) \cap (BCD) = BC\end{array}\) \( \Rightarrow \) MH//BC. Suy ra, giao tuyến của (P) và (BCD) song song với BC và MH. Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD). Vậy giao điểm của (P) và CD là K. b) Ta có: 

\(\begin{array}{l}\left( {ABD} \right) \cap (P) = MI\\\left( {ABD} \right) \cap (ACD) = AD\\(P) \cap (ACD) = HK\end{array}\)

\( \Rightarrow \) MI // AD, HK //MI. Tứ giác MHKI có: MH // KI, MI // HK. Suy ra MHKI là hình bình hành \( \Rightarrow \) MH = KI. Xét tam giác ABC có MH // BC, BM = 3AM. Suy ra BC = 4MH suy ra BC = 4KI. Xét tam giác BCD có IK // BC, BC = 4KI suy ra \(\frac{{KC}}{{CD}} = \frac{3}{4}\).