Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN. a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{SD}}\) b) Chứng minh rằng MN // (SAD).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\left( {ABM} \right) \cap \;\left( {ABCD} \right) = AB,\;\left( {ABCD} \right) \cap \;\left( {SCD} \right) = CD,\;AB//CD\). Suy ra giao tuyến của (ABM) và (SCD) là đường thẳng qua M song song với AB và CD. Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD). Vậy, K là giao điểm của (AMN) và SD. Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra \(\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{3}\). b) Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra \(\frac{{MK}}{{CD}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{3}\). Lại có \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\), AB = CD suy ra AN = MK. Xét tứ giác ANMK ta có: AN = MK, AN // MK suy ra ANMK là hình bình hành. Do đó MN // AK hay MN // (SAD).