Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD. a) Chứng minh rằng GK // (ABCD). b) Mặt phẳng chứa đường thằng GK và song song với mặt phằng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là trung điểm của SD. Xét tam giác SAD có G là trọng tâm, suy ra \(\frac{{HG}}{{HA}} = \frac{1}{3}\). Xét tam giác SCD có K là trọng tâm, suy ra \(\frac{{HK}}{{HC}} = \frac{1}{3}\). Xét tam giác HAC có \(\frac{{HG}}{{HA}} = \frac{{HK}}{{HC}} = \frac{1}{3}\) suy ra GK // AC (định lí Thales đảo). Mà \(GK\not{ \subset }(ABCD)\), \(AC \subset (ABCD)\) nên GK // (ABCD). b) Vì (MNEF) // (ABCD) nên mọi đường thẳng thuộc (MNEF) đều không cắt các đường thẳng thuộc (ABCD). Suy ra MN không cắt AB. Mà MN, AB cùng thuộc mặt phẳng (SAB). Do đó MN // AB (1). Chứng minh tương tự, được EF // CD (2). Mà AB // CD (ABCD là hình bình hành) (3). Từ (1), (2), (3) suy ra MN // EF (4). Chứng minh tương tự, được NE // MF (5).

Từ (4), (5) suy ra MNEF là hình bình hành.