Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, A’B‘. Chứng minh rằng: a) BD // B'D', (A'BD) // (CB’D’) và MN // (BDD'B'). b) Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’)

\(\left( {B'D'DB} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D',\)

\(\left( {B'D'DB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\). Suy ra B'D' // DB. Xét (A'BD) và (CB'D') có BD // B'D', A'B // CD'. Suy ra (A'BD) // (CB'D'). Xét tứ giác B'NMO ta có: B'N = MO, B'N // MO. Suy ra B'NMO là hình bình hành. Suy ra B'O // MN hay MN // (BDD'B'). b) Xét tứ giác A'C'OA ta có: A'C' // AO, A'C' = 2AO. Suy ra A'G = 2GO. Mà O là trung điểm BD. Suy ra G là trọng tâm tam giác A'BD. Như vậy AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.