Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) , do đó \(\frac{x}{y} = \frac{{3,5}}{{7,5}} = \frac{7}{{15}}\)

Tam giác BCZ vuông tại C nên theo định lý Pytago ta có: \(BZ = \sqrt {B{C^2} + C{Z^2}} = 10\) Trong tam giác BCZ có BU là đường phân giác của góc CBZ nên \(\frac{{UC}}{{UZ}} = \frac{{BC}}{{BZ}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\) Do đó, \(\frac{{UC}}{4} = \frac{{UZ}}{5}\) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{UC}}{4} = \frac{{UZ}}{5} = \frac{{UC + UZ}}{{4 + 5}} = \frac{{CZ}}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) nên \(UC = 4.\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 625\) nên \(BC = 25cm\) Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\) nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12\left( {cm} \right)\) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\) \(H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = 81\) nên \(HB = 9cm\) , do đó, \(HC = BC - HB = 16\left( {cm} \right)\) Vì AD là đường phân giác của góc BAH trong tam giác ABH nên \(\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BD}}{{DH}} = \frac{{BH - DH}}{{DH}}\) nên \(\frac{{15}}{{12}} = \frac{{9 - DH}}{{DH}}\) \(15DH = 108 - 12DH\) nên \(DH = 4cm\)

Vì BD, CE là các đường phân giác trong tam giác ABC nên:
⭕ \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{3}{4}\)

Do đó \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{4} = \frac{{AC}}{3}\) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{BC}}{4} = \frac{{AC}}{3} = \frac{{AB + BC + AC}}{{2 + 4 + 3}} = \frac{{27}}{9} = 3\) Do đó, \(AB = 6cm,BC = 12cm,AC = 9cm\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}.\) Vì BE và DF lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ADC nên \(\widehat {ADF} = \widehat {CBE}\) Mặt khác, ta có: \(AD = CB = b,\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\) (so le trong)Suy ra: \(\Delta ADF = \Delta CBE\left( {g.c.g} \right)\) nên \(AF = CE\) Đặt \(AF = CE = x\) Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{FA + FE}}{{CE}} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{x + m}}{x} \Rightarrow x = \frac{{mb}}{{a - b}}\) \(AC = 2x + m = \frac{{2mb}}{{a - b}} + m = \frac{{m\left( {a + b} \right)}}{{a - b}} = \frac{{3,45\left( {12,5 + 7,25} \right)}}{{12,5 - 7,25}} \approx 12,98cm\)

Tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow AD = \frac{2}{3}DC\) Lại có: \(AC = DC + AD = \frac{2}{3}DC + DC = \frac{5}{3}DC \Rightarrow \frac{5}{3}DC = 5 \Rightarrow DC = 3cm \Rightarrow AD = 2cm\) Vì tam giác DAE và tam giác CAE có chung đường cao kẻ từ E đến AC nên \(\frac{{{S_{DAE}}}}{{{S_{ACE}}}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\left( 1 \right)\) Vì tam giác ACE và tam giác CAB có chung đường cao kẻ từ C đến AB nên \(\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( 2 \right)\) Tam giác ABC có CE là đường phân giác của góc ACB nên:

\(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{BC}}\) hay \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6}\)
🧔Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6} = \frac{{AE + EB}}{{5 + 6}} = \frac{{AB}}{{11}} = \frac{4}{{11}}\)

Suy ra: \(AE = \frac{4}{{11}}.5 = \frac{{20}}{{11}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{{11}}\left( 3 \right)\) Thay (3) vào (2) ta có: \(\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{5}{{11}}\left( 4 \right)\) Nhân vế với vế của (1) và (4) ta có: \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{2}{5}.\frac{5}{{11}} = \frac{2}{{11}}\)

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD và BI vào các tam giác ABC, ABD ta được: \(\frac{{DI}}{{IA}} = \frac{{DB}}{{BA}} = \frac{{DB}}{c}\left( 1 \right)\) \(\frac{{DB}}{{BA}} = \frac{{DC}}{{CA}}\) hay \(\frac{{DB}}{c} = \frac{{DC}}{b}\) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{DB}}{c} = \frac{{DC}}{b} = \frac{{DB + DC}}{{c + b}} = \frac{{BC}}{{b + c}} \Rightarrow DB = \frac{{ca}}{{b + c}}\left( 2 \right)\) Thay (2) vào (1) ta được: \(\frac{{DI}}{{IA}} = \frac{{ca}}{{c\left( {b + c} \right)}} = \frac{a}{{b + c}}\) Suy ra: \(\frac{{DI}}{a} = \frac{{IA}}{{b + c}} = \frac{{DI + IA}}{{a + b + c}} = \frac{{AD}}{{a + b + c}} \Rightarrow \frac{{DI}}{{AD}} = \frac{a}{{a + b + c}}\left( 3 \right)\) Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{{EI}}{{EB}} = \frac{b}{{a + b + c}},\frac{{FI}}{{FC}} = \frac{c}{{a + b + c}}\left( 5 \right)\) Cộng theo vế của (3), (4), (5) ta có: \(\frac{{DI}}{{DA}} + \frac{{EI}}{{EB}} + \frac{{FI}}{{FC}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\)

Ta có: \(HF = GF - GH = 20 - x\) Xét tam giác GEF có EH là đường phân giác của góc GEF nên \(\frac{{GH}}{{HF}} = \frac{{EG}}{{FE}}\) hay \(\frac{x}{{20 - x}} = \frac{{18}}{{12}}\) \(12x = 18\left( {20 - x} \right)\) \(12x = 360 - 18x\) \(30x = 360\) \(x = 12\)

Xét tam giác ABC có:AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) CF là đường phân giác của góc BCA nên \(\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) Do đó, \(\frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BC}}{{AB}}.\frac{{AC}}{{BC}} = 1\)

Xét tam giác ABC có AM là đường phân giác góc BAC nên \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{b}\) Xét tam giác ABC có CN là đường phân giác góc BCA nên \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{CB}}{{AC}} = \frac{a}{b}\) Do đó, \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{MB}}{{MC}}\) nên MN//AC (định lý Thalès đảo)Ta có: \(\frac{{NB}}{{NA}} = \frac{{CB}}{{AC}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{{NB}}{{NB + NA}} = \frac{a}{{a + b}}\) hay \(\frac{{NB}}{{AB}} = \frac{a}{{a + b}}\) Do đó, \(NB = \frac{{{a^2}}}{{a + b}}\) Lại có: MN//AC nên \(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{AB}}\) , do đó \(MN = \frac{{AC.NB}}{{AB}} = \frac{{ab}}{{a + b}}\)