Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Tia AI cắt (O) tại X (khác A). Chứng minh rằng X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Lời giải chi tiết

Vì I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC nên \(\widehat {IAB} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2};\widehat {IBA} = \widehat {IBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\). Ta có: \(\widehat {BIX} = {180^o} - \widehat {BIA} = \widehat {IAB} + \widehat {IBA} \\= \frac{{\widehat {BAC}}}{2} + \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\;(1)\) Vì góc CBX và góc CAX là các góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung nhỏ CX nên \(\widehat {CBX} = \widehat {CAX}\). Ta có: \(\widehat {IBX} = \widehat {IBC} + \widehat {CBX} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \widehat {CAX} \\= \frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {CAB}}}{2}\;(2)\) Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {BIX} = \widehat {IBX}\) nên tam giác BIX cân tại X. Do đó, \(XI = XB\).

Chứng minh tương tự ta có: \(XI = IC\). Vậy X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.