Đề bài

Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số n thì được một số lớn hơn số 2n là 585 đơn vị, và nếu viết hai chữ số của số n theo thứ tự ngược lại thì được một số nhỏ hơn số n là 18 đơn vị.

Lời giải chi tiết

• Gọi chữ số hàng chục của số n là x (\(x \in \mathbb{N},0 < x \le 9\)), chữ số hàng đơn vị của số n là y, (\(y \in \mathbb{N}\), \(0 \le y \le 9\)), nghĩa là \(n = 10x + y\).

Khi viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số n, ta được số \(\overline {x3y} \). Số này lớn hơn 2n là 585 đơn vị nên ta có phương trình \(\left( {100x + 30 + y} \right) - 2\left( {10x + y} \right) = 585\) hay \(80x - y = 555\) (1). Khi viết hai chữ số của n theo thứ tự ngược lại, ta được số \(10y + x\). Số này nhỏ hơn số n là 18 đơn vị nên ta có phương trình \(\left( {10x + y} \right) - \left( {10y + x} \right) = 18\) hay \(x - y = 2\) (2). Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}80x - y = 555\\x - y = 2\end{array} \right.\)

• Giải hệ phương trình:

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được \(79x = 553\), suy ra \(x = 7\). Thay \(x = 7\) vào phương trình thứ hai của hệ ta được: \(7 - y = 2\), suy ra \(y = 5\).

• Các giá trị \(x = 7\) và \(y = 5\) thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy số cần tìm là 75.