Đề bài

Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc (cm/s) của mỗi vật.

Lời giải chi tiết

• Gọi vận tốc của vật thứ nhất là x (cm/s), của vật thứ hai là y(cm/s). Điều kiện: \(x,y > 0\). Ngoài ra có thể giả thiết rằng vật thứ nhất đi nhanh hơn, tức là \(x > y\).

Giả sử hai vật chuyển động ngược chiều. Sau 4 giây, quãng đường vật thứ nhất đi được là 4x (cm), vật thứ hai đi được 4y (cm). Hai vật gặp nhau có nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được đúng bằng một vòng (chu vi của đường tròn), tức là \(20\pi \left( {cm} \right)\). Do đó ta có phương trình \(4x + 4y = 20\pi \) (1). Khi hai vật chuyển động cùng chiều, sau 20 giây chúng gặp nhau có nghĩa là khi đó quãng đường vật thứ nhất đi được nhiều hơn quãng đường vật thứ hai đi được đúng một vòng. Do đó ta có phương trình \(20x - 20y = 20\pi \) (2). Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 20\pi \\20x - 20y = 20\pi \end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\pi \\x - y = \pi \end{array} \right.\)

• Giải hệ phương trình:

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được \(2y = 4\pi \), suy ra \(y = 2\pi \). Thay \(y = 2\pi \) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: \(x + 2\pi  = 5\pi \), suy ra \(x = 3\pi \).

• Các giá trị \(x = 3\pi \) và \(y = 2\pi \) thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của vật thứ nhất là \(3\pi \)cm/s, của vật thứ hai là \(2\pi \)cm/s.