Đề bài

Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B. a) Chứng minh rằng MA và MB là hai tiếp tuyến của (N). b) Đường thẳng qua N và vuông góc với NA cắt MB tại C. Chứng minh hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC. c) Đường thẳng qua M và vuông góc với MA cắt NB tại D. Chứng minh ba điểm O, C và D thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Vì M, A, N, B thuộc (O) nên \(OA = OB = OM = ON\). Tam giác MAN có \(OA = OM = ON = \frac{1}{2}MN\), tức là trung tuyến OA có độ dài bằng nửa độ dài cạnh MN nên tam giác MAN vuông tại A. Do đó, \(MA \bot AN\) tại A. Mà A thuộc (N) nên MA là tiếp tuyến của (N). Tam giác MBN có \(OB = OM = ON = \frac{1}{2}MN\), tức là trung tuyến OB có độ dài bằng nửa độ dài cạnh MN nên tam giác MBN vuông tại B. Do đó, \(MB \bot BN\) tại B. Mà B thuộc (N) nên MB là tiếp tuyến của (N). b) Vì AM//NC (cùng vuông góc với AN) nên \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}}\). Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (N) nên MN là phân giác của góc AMB. Do đó, \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\). Do đó, \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{N_1}}\). Suy ra, tam giác CMN cân tại C. Do đó, trung tuyến CO (vì \(OM = ON\)) đồng thời là đường trung trực của MN. Do đó, hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC. c) Vì \(MA \bot MD\) và MD//AC (cùng vuông góc với MA) nên \(\widehat {DMN} = \widehat {ANM}\). Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (N) nên NM là phân giác của góc ANB. Do đó, \(\widehat {DNM} = \widehat {ANM}\)  Do đó, \(\widehat {DMN} = \widehat {DNM}\) nên tam giác DMN cân tại D, suy ra D nằm trên đường trung trực CO của MN. Vậy ba điểm O, C và D thẳng hàng.