Đề bài

Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD. a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE. b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân. c) Biết rằng \(AB = 12cm\) và \(\widehat {COD} = {100^o}\). Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC. d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(OC = OD\) nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OE là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của tam giác COD hay OE là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Vậy C và D đối xứng với nhau qua OE. Vì OE là đường trung trực của đoạn thẳng CD nên \(OE \bot CD\). Mà CD//AB nên \(OE \bot AB\). Mà O là trung điểm của AB do đó OE là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Do đó, A và B đối xứng với nhau qua OE. b) Tam giác COD cân tại O nên OE là đường trung trực và là đường phân giác của góc COD, suy ra \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}}\). Ta có: \(\widehat {AOC} = \widehat {AOE} + \widehat {EOC} \\= {90^o} + \widehat {{O_3}} = {90^o} + \widehat {{O_2}} = \widehat {DOE} + \widehat {EOB} = \widehat {DOB}\) Tam giác AOC và tam giác DOB có: \(OA = OB = OC = OD\), \(\widehat {AOC} = \widehat {DOB}\) nên \(\Delta AOC = \Delta DOB\left( {c.g.c} \right)\) Suy ra \(AC = BD\). Tứ giác ABCD có: AB//CD nên ABCD là hình thang. Mà \(AC = BD\) nên ABCD là hình thang cân. c) Vì \(AB = 12cm\) nên bán kính của (O) bằng 6cm. Lại có: \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_3}} = \frac{1}{2}\widehat {COD} = {50^o},\) \(\widehat {AOC} = \widehat {AOE} + \widehat {{O_2}} = {90^o} + {50^o} = {140^o}\).

Vì AOD là góc ở tâm chắn cung nhỏ AD nên sđ$\overset\frown{AD}$_nhỏ🌃\( = \widehat {AOD} = {90^o} - \widehat {{O_2}} = {40^o}\).

Độ dài cung nhỏ AD là: \({l_{AD}} = \frac{{40}}{{180}}.\pi .6 = \frac{4}{3}\pi \left( {cm} \right)\)

Vì AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC nên sđ$\overset\frown{AC}$_lớn\( = {360^o} - \widehat {AOC} = {220^o}\).

Độ dài cung lớn AC là: \({l_{AC}} = \frac{{220}}{{180}}.\pi .6 = \frac{{22}}{3}\pi \left( {cm} \right)\) d) \(\widehat {BOD} = \widehat {BOE} + \widehat {{O_2}} = {90^o} + {50^o} = {140^o}\).

Vì BOD là góc ở tâm chắn cung nhỏ BD nên sđ$\overset\frown{BD}$_nhỏ\( = \widehat {BOD} = {140^o}\).

Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD là: \({S_q} = \frac{{140}}{{360}}.\pi {.6^2} = 14\pi \left( {c{m^2}} \right)\).