Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D,\,\,E\) tương ứng là trung điểm của \(BC,\,\,CA.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {CA} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {DE}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {EB}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {EB} \) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BD}  = 2\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\) \(\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ = 2\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\) Ta có: \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {DC} \) \(\begin{array}{l} =  - \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ =  - \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ =  - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)