Đề bài

Cho lục giác \(ABCDEF.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB,\;\,BC,\,\,CD,\,\,DE,\,\,EF,\,\,FA.\) Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(MN\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)      (1)Chứng minh tương tự ta được: \(\overrightarrow {PQ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} \) và \(\overrightarrow {RS}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)     (2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \) hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.