Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều có trọng tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)

Lời giải chi tiết

Gọi đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\) cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(G,\,\,J\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(BC\) cắt \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(P,\,\,I\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AC\) cắt \(AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(Q,\,\,H\).Ta có: \(MG\)//\(AB\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MGH} = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\)\(MH\)//\(AC\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MHG} = \widehat {ACB} = {60^ \circ }\)\( \Rightarrow \) \(\Delta MHG\) là tam giác đềuMặt khác \(MD \bot HG\)\( \Rightarrow \) \(D\) là trung điểm của \(GH\)\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MH} \)        (1)Chứng minh tương tự ta được: \(2\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP} \), \(2\overrightarrow {MF}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ} \)      (2)Ta có: tứ giác \(AQMJ,\) \(BPMG,\) \(CIMH\) là hình bình hànhTừ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(2\left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right) = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ} \) \(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MH} } \right) + \left( {\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MG} } \right)\\ = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB} \\ = \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} \\ = 3\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\\ = 3\overrightarrow {MO} \end{array}\)\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm)