Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H,\) trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O.\) a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OM} .\) b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .\) c) Chứng minh rằng ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải chi tiết

a)      Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow A'C \bot AC\) và \(A'B \bot AB\)       (1)Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)                  (2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH.\)Xét tứ giác \(ABHC\) có: \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH\)\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)\( \Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} \)Ta có: tứ giác \(ABHC\) là hình bình hànhnên \(M\) là trung điểm của \(A'H\)Xét \(\Delta AA'H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A'H\)\(O\) là trung điểm của \(AA'\)\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\)\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AH} .\)b)     Ta có:\(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM}  + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM} \) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {OH} \)     (3)c)      Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)nên \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} .\)        (4)Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phươnghay ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.