Đề bài

Cho tam giác \(OAB\) vuông cân, với \(OA = OB = a.\) Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} ,\,\,2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB} .\)

Lời giải chi tiết

+) Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} \) với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(OACB\) Ta có: tứ giác \(OACB\) là hình bình hành mặt khác \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(A\) nên tứ giác \(OACB\) là hình bình hành \( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \) +) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \) Xét \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O\) có: \( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \) +) Gọi điểm \(D\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(B\) \( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD} \) và \(OD = 2a.\) Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OE} \) với \(E\) là điểm thứ tư của hình bình hành \(OAED\) Ta có: tứ giác \(OAED\) là hình bình hành Mặt khác \(\widehat {DOA} = {90^ \circ }\) Nên tứ giác \(OAED\) là hình chữ nhật Xét hình chữ nhật \(OAED\) có: \( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = \sqrt {O{A^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \) +) Lấy điểm \(F\) đối xứng với \(B\) qua \(D\) và \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(A\) \( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OG} ,\) \(3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OF} ,\) \(OG = 2a,\)\(OF = 3a\) Ta có: \(2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OG}  - \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {FG} \) Xét \(\Delta OFG\) vuông tại \(O\) có: \( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {FG} } \right| = FG = \sqrt {O{F^2} + O{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt {13} \)