Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\); b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\); c) \(y = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\); d) \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right){{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {8{\rm{x}} - 2} \right)\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{8{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} - 16}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\end{array}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 1\) (loại). Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {1; + \infty } \right)\). b) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\\\end{array}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 1\) (loại). Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - 2\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\). c) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\). Ta có: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right)}^\prime }\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right){{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {18{\rm{x}} + 3} \right)\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right).3}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{27{{\rm{x}}^2} - 18{\rm{x}} - 24}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\\end{array}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\) hoặc \(x =  - \frac{2}{3}\) (loại). Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3};5} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{3}} \right) = 9\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\). d) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\). Ta có: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {4{\rm{x}} + 3} \right)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}} = \frac{{4{{\rm{x}}^2} + 20{\rm{x}} + 21}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\\end{array}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}\) hoặc \(x =  - \frac{7}{2}\) (loại). \(f\left( { - 2} \right) = \frac{{11}}{9};f\left( { - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2};f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}}\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\).