Đề bài

Cho hình thoi ABCD có \(\widehat A = {60^o}\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Theo hình vẽ, ta thấy\(MBNPDQ\) là lục giác lồi. Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình thoi. Như vậy: \(BM = BN = DP = DQ = \frac{a}{2}.\) Mặt khác, các tam giác cân \(AMQ\) và \(CNP\) có \(\widehat A = \widehat C = {60^{\rm{o}}}\) nên chúng là tam giác đều. Do đó \(MQ = AM = \frac{a}{2},\,\,NP = CP = \frac{a}{2}.\) Hơn nữa \(\widehat {QMB} = {180^{\rm{o}}} - \widehat {QMA} = {120^{\rm{o}}}.\) Tương tự, \(\widehat {BNP} = \widehat {NPD} = \widehat {DQM} = {120^{\rm{o}}}.\) Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(\widehat {MBN} = \widehat {PDQ} = {180^{\rm{o}}} - \widehat A = {120^{\rm{o}}}.\) Vậy \(MBNPDQ\) là lục giác lồi có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau và do đó là lục giác đều.