Đề bài

Tìm số tự nhiên n nhỏ hơn 45 sao cho \(x = \dfrac{{\sqrt n  - 1}}{2}\) là số nguyên.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(x = \dfrac{{\sqrt n  - 1}}{2} \) \(2x = \sqrt n  - 1 \) \(\sqrt n  = 2x + 1\) Nếu \(x = \dfrac{{\sqrt n  - 1}}{2}\) là số nguyên thì \(\sqrt n  = 2x + 1\) là số tự nhiên lẻ. Nếu \(n < 45\) thì \(\sqrt n  < \sqrt {45} \) Suy ra \(\sqrt n  < \sqrt {49}  \) Nên \(n < 7 \) Vậy \(2x + 1\) là số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 7 Suy ra \( 2x + 1 \in \left\{ {1;3;5} \right\}\) Nên \(\sqrt n  \in \left\{ {1;3;5} \right\}\) suy ra \(n \in \left\{ {1;9;25} \right\}\)