Đề bài

 🍰Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\) b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF. c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét DABD và DEAD có:AB = AE (giả thiết),\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)AD là cạnh chungSuy ra ∆ABD = ∆AED (c.g.c)Do đó \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\) (hai góc tương ứng)Vậy \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)b) Xét ∆ABC và ∆AEF có:\(\widehat {FAC}\) là góc chung,AB = AE (giả thiết),\(\widehat {ABC} = \widehat {AEF}\) (Do \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\))Suy ra ∆ABC = ∆AEF (g.c.g)Do đó AC = AF (hai cạnh tương ứng)Vậy AC = AF.c) Xét ∆AHF và ∆AHC có:AH là cạnh chung,\(\widehat {FAH} = \widehat {CAH}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC),AF = AC (chứng minh câu b)Do đó ∆AHF = ∆AHC (c.g.c)Suy ra HF = HC (hai cạnh tương ứng).Khi đó H là trung điểm của FC nên DH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của tam giác DFC.Xét tam giác DFC có CG và DH là hai đường trung tuyến, CG và DH cắt nhau tại ISuy ra I là trọng tâm của tam giác DFC.Do đó IH = \(\frac{1}{2}\)ID (tính chất trọng tâm của tam giác)Hay DI = 2IH.Vậy DI = 2IH.