Đề bài

Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.

Lời giải chi tiết

 

Gọi N là giao điểm của AG và BC.Kẻ BH ⊥ AN (H ∈ AN) và CK ⊥ AN (K ∈ AN).• Ta có:\({S_{\Delta GAB}} = \frac{{AG.BH}}{2},{S_{\Delta GCA}} = \frac{{AG.CK}}{2}\)Mà \({S_{\Delta AGB}} = {S_{\Delta AGC}}\) nên \(\frac{{AG.BH}}{2} = \frac{{AG.CK}}{2}\)Suy ra BH = CK.•Xét DBHN và DCKN có\(\widehat {BHN} = \widehat {CKN}\left( { = 90^\circ } \right)\)BH = CK (chứng minh trên),\(\widehat {HNB} = \widehat {KNC}\) (hai góc đối đỉnh)Do đó ∆BHN = ∆CKN (g.c.g)Suy ra BN = CN (hai cạnh tương ứng)Hay AN là đường trung tuyến của tam giác ABC.•Chứng minh tương tự, ta có CG cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.Tam giác ABC có AN, CG là hai đường trung tuyến cuả tam giácMà AN và CG cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.Vậy nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.