Đề bài

Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. a) Chứng minh AC = EB và AC song song với EB. b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng. c) Từ E kẻ EH vuông góc với BC tại H. Cho biết \(\widehat {HBE} = 50^\circ ;\widehat {MEB} = 25^\circ \). Tính số đo các góc HEB và HEM.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆AMC và ∆EMB có:AM = ME (giả thiết),\(\widehat {AMC} = \widehat {EMB}\) (hai góc đối đỉnh),BM = CM (vì M là trung điểm của BC)Do đó ∆AMC = ∆EMB (c.g.c)Suy ra AC = EB (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {MAC} = \widehat {MEB}\) (hai góc tương ứng)Mà \(\widehat {MAC}\) và \(\widehat {MEB}\) ở vị trí so le trong nên AC // BE.Vậy AC = EB và AC song song với EB.b) Xét ∆AMI và ∆EMK có:AM = ME (giả thiết),\(\widehat {MAI} = \widehat {MEK}\) (do \(\widehat {MAC} = \widehat {MEB}\)),AI = EK (giả thiết)Do đó ∆AMI = ∆EMK (c.g.c)Suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {EMK}\) (hai góc tương ứng)Mà \(\widehat {AMI} + \widehat {IME} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)Suy ra \(\widehat {EMK} + \widehat {IME} = 180^\circ \) Hay \(\widehat {IMK} = 180^\circ \)Do đó ba điểm I, M, K thẳng hàng.Vậy ba điểm I, M, K thẳng hàng.c) Trong tam giác HBE vuông tại H có:\(\widehat {HBE} + \widehat {HEB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)Suy ra \(\widehat {HEB} = 90^\circ  - \widehat {HBE} = 90^\circ  - 50^\circ  = 40^\circ \). Ta có \(\widehat {HEB} = \widehat {HEM} + \widehat {MEB}\) (hai góc kề nhau)Hay \(40^\circ  = \widehat {HEM} + 25^\circ \)Suy ra \(\widehat {HEM} = 40^\circ  - 25^\circ  = 15^\circ \).Vậy \(\widehat {HEB} = 40^\circ ;\widehat {HEM} = 15^\circ \)