Đề bài

🎐Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Chứng minh:

a) OC vuông góc với FH;

b) Tam giác OAI là tam giác cân;

c) Tam giác BAI là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét DOHC và DOFC có:\(\widehat {OHC} = \widehat {OFC}\left( { = 90^\circ } \right)\)OC là cạnh chung,\(\widehat {OCH} = \widehat {OCF}\) (do CO là tia phân giác của góc ACB)Do đó ∆OHC = ∆OFC (cạnh huyền – góc nhọn)suy ra CH = CF, OH = OF (các cặp cạnh tương ứng).Do đó C và O cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FH.Hay CO là đường trung trực của đoạn thẳng FH.Do đó OC ⊥ FH.Vậy OC ⊥ FH.b) Xét ∆OHA và ∆OFI có:\(\widehat {OHA} = \widehat {OFI}\left( { = 90^\circ } \right)\)OH = OF (chứng minh câu a),AH = IF (giả thiết),Do đó ∆OHA = ∆OFI (hai cạnh góc vuông)Suy ra OA = OI (hai cạnh tương ứng)Tam giác OAI có OA = OI nên ∆OAI cân tại O.Vậy tam giác OAI là tam giác cân tại O.c) • Kẻ OK ⊥ AB (K ∈ AB).Xét ∆AOH và ∆AOK có\(\widehat {OHA} = \widehat {OK{\rm{A}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)OA là cạnh chung,\(\widehat {HAO} = \widehat {KAO}\) (do AO là tia phân giác của góc BAC)Do đó ∆AOH = ∆AOK (cạnh huyền – góc nhọn)Suy ra AH = AK (hai cạnh tương ứng).•Xét tam giác ABC có O là giao điểm của hai tia phân giác của góc ACB và BAC. Suy ra BO là tia phân giác của góc ABC.Xét ∆BOK và ∆BOF có\(\widehat {OKB} = \widehat {OFB}\left( { = 90^\circ } \right)\)OB là cạnh chung,\(\widehat {KBO} = \widehat {FBO}\) (do BO là tia phân giác của góc ABC)Do đó ∆BOK = ∆BOF (cạnh huyền – góc nhọn).Suy ra BK = BF (hai cạnh tương ứng)•Ta có AB = AK + KB, BI = BF + FIMà BK = BF, AK = IF (=AH)Từ đó suy ra AB = BI nên tam giác BAI cân tại B.Vậy tam giác BAI cân tại B.