Đề bài

🔴Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ∆ADB = ∆AEC.

b) Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân.

c) So sánh HB và HD.

🦄d) Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HB, I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\left( { = 90^\circ } \right)\)AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),\(\hat A\) là góc chung,Suy ra ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).Vậy ∆ADB = ∆AEC.b) Vì ∆ADB = ∆AEC (chứng minh câu a)Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (hai góc tương ứng).Ta có AB = AE + EB, AC = AD + DC.Mà AB = AC, AE = AD.Suy ra BE = CD.Xét ∆EHB và ∆DHC có:\(\widehat {HEB} = \widehat {H{\rm{D}}C}\left( { = 90^\circ } \right)\)BE = CD (chứng minh trên),\(\widehat {EBH} = \widehat {DCH}\) (do \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\))Suy ra ∆EHB = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).Do đó HE = HD, BH = CH (các cặp cạnh tương ứng).Tam giác HDE có HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.Vậy tam giác HDE là tam giác cân tại H.c) Trong tam giác vuông HDC có HC > HD (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)Mà HC = HB (chứng minh câu b)Do đó HB > HD.Vậy HB > HD.d) • Gọi P là giao điểm của HI và BC.Tam giác HBC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I. Do đó I là trọng tâm của tam giác HBC nên HP là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh H của tam giác.Từ đó ta có PB = PC.Xét ∆HBP và ∆HCP có:HB = HC (chứng minh ở câu b),HP là cạnh chung,PB = PC (chứng minh trên)Do đó ∆HBP = ∆HCP (c.c.c)Suy ra \(\widehat {HPB} = \widehat {HPC}\) (hai góc tương ứng)Mà \(\widehat {HPB} + \widehat {HPC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)Do đó \(\widehat {HPB} = \widehat {HPC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)Từ đó ta có HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC (1)• Tam giác ABC có H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC.Do đó AH ⊥ BC (2)Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại PHay ba điểm A, H, I thẳng hàng.Vậy ba điểm A, H, I thẳng hàng.