1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. - Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \le \) M với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc M = $\underset{D}{\mathop{\max }}\,f(x)$ - Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc m = \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\)

Ví dụ: Tì൲m GTLN, GTNN của hàm số \(y = f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \)

Tập xác định của hàm số là \(\left[ { - 1;1} \right]\)Ta có:\(f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \ge \) 0; dấu bằng xảy ra khi \(1 - {x^2} = 0\), tức x = -1 hoặc x = 1.Do đó \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f( - 1) = f(1) = 0\)\(f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \le 1\); dấu bằng xảy ra khi \(1 - {x^2} = 1\), tức x = 0.Do đó \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f(0) = 1\)

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a;b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm f’(x) = 0. Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\): Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)\), tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại Tính \(f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)\) và \(f(b)\) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M = \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\); m = \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\)

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + ꦏ3\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 2 \) (vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\))            y(0) = 3; y(4) = 195; y(\(\sqrt 2 \)) = -1Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) =  - 1\)