Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\); b) \(y = x.{e^{ - x}}\); c) \(y = x\ln x\); d) \(y = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - x} \).

Lời giải chi tiết

a) \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\) \(y' = 4{x^3} - 4x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\) \(y\left( 0 \right) = 3;y\left( 1 \right) = y\left( { - 1} \right) = 2\) Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = y\left( { - 1} \right) = 2\), hàm số không có giá trị lớn nhất. b) Ta có: \(y' = {e^{ - x}} - x.{e^{ - x}},y' = 0 \Leftrightarrow {e^{ - x}} - x.{e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = \frac{1}{e}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất. c) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) \(y' = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1,y' = 0 \Leftrightarrow \ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}\) (thỏa mãn) Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\frac{1}{e}} \right) = \frac{{ - 1}}{e}\) d) Tập xác định của hàm số là \(\left[ {1;3} \right]\). \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }},y' = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {3 - x}  - \sqrt {x - 1} }}{{2\sqrt {3 - x} \sqrt {x - 1} }} = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {3 - x}  = \sqrt {x - 1}  \Leftrightarrow 3 - x = x - 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} \right)\) \(y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 2;y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \) Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 2 \right) = 2,\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \)