\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\); \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\) với \(\alpha  \ne k\frac{\pi }{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\); \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\); \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\alpha  \ne k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Cho \(\tan x = 2\). Tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{5\sin x + 2\cos x}}\); b) \(\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{2\sin x + 3\cos x}}\).

Giải:

Vì tanx xác định nên \(\cos x \ne 0\). a) \(\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{5\sin x + 2\cos x}} = \frac{{\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{5\sin x + 2\cos x}}{{\cos x}}}}\) \( = \frac{{3\tan x - 4}}{{5\tan x + 2}} = \frac{{3.2 - 4}}{{5.2 + 2}} = \frac{1}{6}\). b) \(\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{2\sin x + 3\cos x}} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}x + 2{{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}}}}{{\frac{{2\sin x + 3\cos x}}{{{{\cos }^3}x}}}}\) \( = \frac{{{{\tan }^3}x + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {2\tan x + 3} \right)}} = \frac{{{{\tan }^3}x + 2}}{{\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\left( {2\tan x + 3} \right)}}\) \( = \frac{{{2^3} + 2}}{{\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {2.2 + 3} \right)}} = \frac{{10}}{{5.7}} = \frac{2}{7}\).