HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 57 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng \(({P_1}):2x + 2y + 2z + 1 = 0\) (1) và mặt phẳng \(({P_2}):x + y + z - 1 = 0\) (2).

a) Gọi \(\overrightarrow {{n_1}}  = (2;2;2),\overrightarrow {{n_2}}  = (1;1;1)\) lần lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng \(({P_1}),({P_2})\) (Hình 14). Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(2\overrightarrow {{n_2}} \). b) Tìm các hệ số tự do \({D_1},{D_2}\) lần lượt trong hai phương trình (1), (2). So sánh \({D_1}\) và \(2{D_2}\). c) Nêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng \(({P_1})\), \(({P_2})\).

Phương pháp giải:

a), (b) Xác định \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(2\overrightarrow {{n_2}} \), \({D_1}\) và \(2{D_2}\) rồi so sánh. b) Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow {{n_1}}  = 2\overrightarrow {{n_2}}  = (2;2;2)\). b) \({D_1}= 1\); \(2{D_2}= -2\). Vậy \({D_1} \ne 2{D_2}\). c) \(({P_1})//({P_2})\).

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 58 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho \(m \ne 0\). Chứng minh rằng các mặt phẳng (P): x – m = 0, (Q): y – m = 0, (R): z – m = 0 lần lượt song song với các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy).

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và A’x + B’y + C’z + D’ = 0 song song nếu: \(\left\{ \begin{array}{l}A = kA'\\B = kB'\\C = kC'\\D \ne kD'\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Vecto pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (Q), (R) là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1;0;0)\), \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (0;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_R}}  = (0;0;1)\). Vecto pháp tuyến của các mặt phẳng (Oyz): x = 0, (Ozx): y = 0, (Oxy): z = 0 là: \(\overrightarrow i  = (1;0;0)\), \(\overrightarrow j  = (0;1;0)\), \(\overrightarrow k  = (0;0;1)\). Do \(\overrightarrow i  = \overrightarrow {{n_P}} \) và \(m \ne 0\) nên (P) // (Oyz). Do \(\overrightarrow j  = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(m \ne 0\) nên (Q) // (Ozx). Do \(\overrightarrow k  = \overrightarrow {{n_R}} \) và \(m \ne 0\) nên (R) // (Oxy).

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 58 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng \(({P_1})\) có phương trình tổng quát là \(x + 2y + z + 1 = 0\) và mặt phẳng \(({P_2})\) có phương trình tổng quát là \(3x - 2y + z + 5 = 0\). Gọi \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1;2;1),\overrightarrow {{n_2}}  = (3; - 2;1)\) lần lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng \(({P_1})\), \(({P_2})\). Hai vecto \(\overrightarrow {{n_1}} \), \(\overrightarrow {{n_2}} \) có vuông góc với nhau hay không?

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.3 + 2.( - 2) + 1.1 = 0\) suy ra \(\overrightarrow {{n_1}} \),\(\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau.

LT10

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều

Chứng minh rằng hai mặt phẳng (Ozx) và (P): a + 2z – 3 = 0 vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Chứng minh tích vô hướng hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx) là \(\overrightarrow j  = (0;1;0)\). Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n  = (1;0;2)\). Ta có \(\overrightarrow j .\overrightarrow n  = (0.1 + 1.0 + 0.2) = 0\) nên \(\overrightarrow j  \bot \overrightarrow n \). Vậy \((Ozx) \bot (P)\).