HĐ10

Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) là vecto pháp tuyến. Cho điểm \({M_0}(2;3;4)\). Gọi \(H({x_H};{y_H};{z_H})\) là hình chiếu vuông góc của điểm \({M_0}\) trên mặt phẳng (P). a) Tính tọa độ của \(\overrightarrow {H{M_0}} \) theo \({x_H}\), \({y_H}\), \({z_H}\). b) Nêu nhận xét về phương của hai vecto \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {H{M_0}} \). Từ đó, hãy suy ra rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\). c) Tính các độ dài \(\left| {\overrightarrow n } \right|\), \(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|\) theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm \({M_0}(2;3;4)\) đến mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

a) \(A({a_1};{a_2};{a_3})\), \(B({b_1};{b_2};{b_3})\) \(\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\). b) Sử dụng các công thức tính tích vô hướng của hai vecto. c) Sử dụng công thức tính độ dài của vecto. Áp dụng kết quả phần b).

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow {H{M_0}}  = (2 - {x_H};3 - {y_H};4 - {z_H})\). b) Vì H là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên mặt phẳng (P) nên 2 vecto \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \) cùng phương. Ta có: \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {H{M_0}} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|\). Lại có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}}  = A(2 - {x_H}) + B(3 - {y_H}) + C(4 - {z_H}) \) \(= A.2 + B.3 + C.4 + ( - A{x_H} - B{y_H} - C{z_H})\) \(= A.2 + B.3 + C.4 + D\). \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\). Vậy \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|\). c) \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) \(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\). Vậy công thức tính khoảng cách từ điểm \({M_0}(2;3;4)\) đến mặt phẳng (P) là \(d({M_0};(P)) = \frac{{\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

LT11

Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 60 SGK Toán 12 Cánh diều

Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm M(a;b;c) đến các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt bằng |a|, |b|, |c|.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách: \(d\left( {{M_0};(P)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

(Oyz): x = 0; (Ozx): y = 0; (Oxy): z = 0. \(d\left( {{M_0};(Oyz)} \right) = \frac{{\left| {1.a + 0.b + 0.b + 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \left| a \right|\); \(d\left( {{M_0};(Ozx)} \right) = \frac{{\left| {0.a + 1.b + 0.b + 0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \left| b \right|\); \(d\left( {{M_0};(Oxy)} \right) = \frac{{\left| {0.a + 0.b + 1.b + 0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| c \right|\).

LT12

Trả lời câu hỏi Luyện tập 12 trang 60 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng \(({P_1})\): 6x – 8y – 3 = 0 và mặt phẳng \(({P_2})\): 3x – 4y + 2 = 0. a) Chứng minh rằng \(({P_1})\) // \(({P_2})\). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1})\), \(({P_2})\).

Phương pháp giải:

a) Hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và A’x + B’y + C’z + D’ = 0 song song nếu: \(\left\{ \begin{array}{l}A = kA'\\B = kB'\\C = kC'\\D \ne kD'\end{array} \right.\) b) Lấy một điểm\({M_0} \in ({P_1})\). Ta có \(d\left( {({P_1}),({P_2})} \right) = d\left( {{M_0},({P_2})} \right)\). Áp dụng công thức tính khoảng cách: \(d\left( {{M_0};(P)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_1}}  = (6; - 8;0)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = (3; - 4;0)\) lần lượt là hai vecto pháp tuyến của các mặt phẳng \(({P_1})\), \(({P_2})\). Do \(\overrightarrow {{n_1}}  = 2\overrightarrow {{n_2}} \) và \( - 3 \ne 2\) nên \(({P_1})\) // \(({P_2})\). b) Chọn điểm \({M_0}\left( {\frac{1}{2};0;0} \right) \in ({P_1})\). Khoảng cách từ \({M_0}\) đến \(({P_2})\) là: \(d\left( {{M_0};({P_2})} \right) = \frac{{\left| {3.\frac{1}{2} - 4.0 + 0.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {0^2}} }} = \frac{7}{{10}}\). Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(({P_1})\), \(({P_2})\) bằng \(\frac{7}{{10}}\).