HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 26 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hàm số \(y = \cos x\). a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) bằng cách tính giá trị của \(\cos x\) với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của \(\cos x\) với những x âm.

\(x\)	\( - \pi \)	\( - \frac{{3\pi }}{4}\)	\( - \frac{\pi }{2}\)	\( - \frac{\pi }{4}\)	0	\(\frac{\pi }{4}\)	\(\frac{\pi }{2}\)	\(\frac{{3\pi }}{4}\)	\(\pi \)
\(\cos x\)	?	?	?	?	?	?	?	?	?

Bằng cách lấy nhiều điểm \(M\left( {x;\sin x} \right)\) với \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\). c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ \(T = 2\pi \), ta được đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) như hình dưới đây.

 

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \cos x\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ. Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) = \cos x = f\left( x \right),\;\forall x \in D\). Vậy \(y = \cos x\) là hàm số chẵn. b)

\(x\)	\( - \pi \)	\( - \frac{{3\pi }}{4}\)	\( - \frac{\pi }{2}\)	\( - \frac{\pi }{4}\)	0	\(\frac{\pi }{4}\)	\(\frac{\pi }{2}\)	\(\frac{{3\pi }}{4}\)	\(\pi \)
\(\cos x\)	\( - 1\)	\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)	\(0\)	\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)	1	\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)	0	\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)	\( - 1\)

c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = \cos x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi  + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right),\;k \in \mathbb{Z}\).

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 27 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tìm tập giá trị của hàm số \(y =  - 3\cos x\).

Phương pháp giải:

Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\). Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\) \( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y =  - 3\cos x\) là \(T = \left[ { - 3;3} \right]\).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 27 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Trong vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A\cos (\omega t + \varphi )\), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), \(\omega t + \varphi \) là pha dao động tại thời điểm t⛄ và \(\varphi  \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x\left( t \right) =  - 5\cos 4\pi t\) (cm). a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động. b) Tính pha của dao động tại thời điểm \(t = 2\) (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Phương pháp giải:

Dựa vào phương trình tổng quát để xác định: Biên độ dao động, Pha dao động tại thời điểm t, Pha ban đầu.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: – 5cos 4πt = 5cos(4πt + π).

Biên độ dao động \(A =  5 > 0\); Pha ban đầu của dao động: \(\varphi  = \pi\). b) Pha dao động tại thời điểm \(t = 2\) là \(\omega t + \varphi  = 4\pi .2 + \pi = 9\pi \). Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5\). Trong khoảng thời gian 2 giây, số dao động toàn phần vật thực hiện được là: \(\frac{2}{{0,5}} = 4\) (dao động).