Đề bài

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0;0;4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \({Q_1}\left( {0; - 1;0} \right)\), \({Q_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right)\), \({Q_3}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right)\) (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N. Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) tác dụng lên giá đỡ?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {{Q_1}O} } \right| = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{( - 1 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\); \(\left| {\overrightarrow {{Q_2}O} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\); \(\left| {\overrightarrow {{Q_3}O} } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1\). Do đó \({Q_1}O = {Q_2}O = {Q_3}O = 1\), suy ra O là trọng tâm tam giác \({Q_1}{Q_2}{Q_3}\). Khi đó \(\overrightarrow {P{Q_1}} + \overrightarrow {P{Q_2}} + \overrightarrow {P{Q_3}} = 3\overrightarrow {PO} \) (tính chất trọng tâm). Mặt khác, dễ dàng chứng minh độ dài các giá đỡ \(P{Q_1} = P{Q_2} = P{Q_3}\) (do các tam giác vuông \(PO{Q_1}\), \(PO{Q_2}\), \(PO{Q_3}\) bằng nhau). Các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên ta có tỉ lệ: \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{P{Q_1}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{P{Q_2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{P{Q_3}}} = k\) và \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {P{Q_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {P{Q_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {P{Q_3}} \). Từ \(\overrightarrow {P{Q_1}} + \overrightarrow {P{Q_2}} + \overrightarrow {P{Q_3}} = 3\overrightarrow {PO} \) đã chứng minh, ta được: \(k\overrightarrow {P{Q_1}} + k\overrightarrow {P{Q_2}} + k\overrightarrow {P{Q_3}} = 3k\overrightarrow {PO} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = 3k\overrightarrow {PO} \). Mà \(\overrightarrow {PO} = (0 - 0;0 - 0;0 - 4) = (0;0; - 4)\). Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = (0;0; - 12k)\). Giả sử \(\vec P\) là trọng lực tác động lên cả 3 giá đỡ. \(\vec P\) là lực vuông góc với mặt phẳng (Oxy), hướng xuống dưới (ngược chiều với trục Oz) nên tọa độ của \(\vec P= (0;0; - 360)\). Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec P \Leftrightarrow  - 12k =  - 360 \Leftrightarrow k = 30\). Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {P{Q_1}}  = \left( {30.0;30.( - 1);30.( - 4)} \right) = \left( {0; - 30; - 120} \right)\); \(\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {P{Q_2}}  = \left( {30.\frac{{\sqrt 3 }}{2};30.\frac{1}{2};30.( - 4)} \right) = \left( {15\sqrt 3 ;15; - 120} \right)\); \(\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {P{Q_3}}  = \left( { - 30.\frac{{\sqrt 3 }}{2};30.\frac{1}{2};30.( - 4)} \right) = \left( { - 15\sqrt 3 ;15; - 120} \right)\).