HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 74 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vecto \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2})\).

a) Biểu diễn các vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) theo ba vecto \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \). b) Biểu diễn các vecto \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \), \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \), \(m\overrightarrow u (m \in \mathbb{R})\) theo ba vecto \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \). c) Tìm tọa độ các vecto \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \), \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v \), \(m\overrightarrow u (m \in \mathbb{R})\).

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow i  = (1;0;0);\overrightarrow j  = (0;1;0);\overrightarrow k  = (0;0;1)\). Áp dụng quy tắc nhân vecto với một số và quy tắc cộng trừ 2 vecto.

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1}) = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k \). \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2}) = {x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j  + {z_2}\overrightarrow k \). b) \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k  + {x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j  + {z_2}\overrightarrow k  = ({x_1} + {x_2})\overrightarrow i  + ({y_1} + {y_2})\overrightarrow j  + ({z_1} + {z_2})\overrightarrow k \). \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v  = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k  - {x_2}\overrightarrow i  - {y_2}\overrightarrow j  - {z_2}\overrightarrow k  = ({x_1} - {x_2})\overrightarrow i  + ({y_1} - {y_2})\overrightarrow j  + ({z_1} - {z_2})\overrightarrow k \). \(m\overrightarrow u  = m({x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k ) = m{x_1}\overrightarrow i  + m{y_1}\overrightarrow j  + m{z_1}\overrightarrow k \). c) \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = ({x_1} + {x_2})\overrightarrow i  + ({y_1} + {y_2})\overrightarrow j  + ({z_1} + {z_2})\overrightarrow k  = ({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2})\). \(\overrightarrow u  - \overrightarrow v  = ({x_1} - {x_2})\overrightarrow i  + ({y_1} - {y_2})\overrightarrow j  + ({z_1} - {z_2})\overrightarrow k  = ({x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2};{z_1} - {z_2})\). \(m\overrightarrow u  = m{x_1}\overrightarrow i  + m{y_1}\overrightarrow j  + m{z_1}\overrightarrow k  = (m{x_1};m{y_1};m{z_1})\).

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Cho \(\overrightarrow u  = ( - 2;0;1)\), \(\overrightarrow v  = (0;6; - 2)\), \(\overrightarrow w  = ( - 2;3;2)\). Tìm tọa độ vecto \(\overrightarrow u  + 2\overrightarrow v  - 4\overrightarrow w \). b) Cho ba điểm A(-1;-3;-2), B(2;3;4), C(3;5;6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(2\overrightarrow v  = (0;12; - 4)\), \( - 4\overrightarrow w  = (8; - 12; - 8)\). Khi đó: \(\overrightarrow u  + 2\overrightarrow v  - 4\overrightarrow w \) \( = ( - 2 + 0 + 8;0 + 12 - 12;1 - 4 - 8) = (6;0; - 11)\). b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3;6;6)\), \(\overrightarrow {AC}  = (4;8;8)\). Vì \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{6}{8}\) nên \(\overrightarrow {AB}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \), do đó \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \). Khi đó AB song song hoặc trùng với AC, mà hai đường thẳng có chung điểm A. Vậy A, B, C thẳng hàng.