Đề bài

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn $v_0$ không đổi. Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại vị trí khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo như hình bên. Khi đó, trong Vật lí, ta biết rằng quỹ đạo của quả đạn pháo có dạng đường parabol có phương trình (với \(g\) là gia tốc trọng trường) \( y = -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2 + x \tan \alpha \). Cho \( y = 0 \) ta được \( -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2 + x \tan \alpha = 0 \), suy ra \( x = 0\) hoặc \(x = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} \). Quả đạn chạm đất khi \( x = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} \). Ta có \( x = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} < \frac{v_0^2}{g} \), dấu bằng xảy ra khi \(\sin 2\alpha = 1\). Giải phương trình \(\sin 2\alpha = 1\), ta được \( \alpha = \frac{\pi}{4} + k \pi \) \((k \in \mathbb{Z}) \).