Đề bài

  Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}  = 2\int {\cos x + \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = 2\sin x - \cot x + C} } \) Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\) nên \(2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C =  - 1\), suy ra \(C =  - \sqrt 2 \) Do đó, \(F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2 \).