Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, ngang, xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) \(y = \frac{x}{{2 - x}}\)                  b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\)              c) \(y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}\)

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \frac{x}{{2 - x}} =  - 1\) Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 - x}} =  - \infty \end{array} \right.\) Vậy đường thẳng \(y =  - 1\) và \(x = 2\) lần lượt là đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \(y = \frac{x}{{2 - x}}\). b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} =  + \infty \end{array} \right.\) Mặt khác, \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x - 1}}\) Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {2x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\) Vậy đường thẳng \(x = 1\) và đường thẳng \(y = 2x - 1\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\) c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty \end{array} \right.\). Xét \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 0\] Vậy đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(y = x - 3\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}\)