Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và \(\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^\circ }\). Tính độ dài đường chéo AC’.

Lời giải chi tiết

Vì tất cả các cạnh đều bằng a và các góc giữa các cặp vectơ đều là \({\rm{\backslash }}({60^\circ }{\rm{ \backslash }})\), ta có: \(|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AA'} | = a\) Tích vô hướng giữa các cặp vectơ: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\) \(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\) Vì ABCD.A’B’C’D’ nên: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \) Suy ra: \(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {|\overrightarrow {AB} {|^2} + |\overrightarrow {AD} {|^2} + |\overrightarrow {AA'} {|^2} + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  + 2\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AA'} } \) Tính độ dài đường chéo AC': \(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2} + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)} \) \(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {3{a^2} + 3{a^2}}  = \sqrt {6{a^2}}  = a\sqrt 6 \) Vậy độ dài đường chéo \(AC'\) là \(a\sqrt 6 \).