Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

Lời giải chi tiết

- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \). - Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \). - Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là: \(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {BM} \) Với: \(\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB} \) Và: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {CD} } \right)\). Suy ra: \(\overrightarrow {NM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} )\) Ta có: \(\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {NM}  = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} ) \cdot (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} )\) Biểu thức này mở rộng thành: \(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CD}  \cdot \overrightarrow {CD} )\) Biết rằng \(\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {NM}  = M{N^2} = 7{a^2}\), \(AB = 2a\), \(CD = 2a\sqrt 3 \), ta suy ra: \(7{a^2} = \frac{1}{4}(4{a^2} - 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  + 12{a^2})\) \(7{a^2} = \frac{1}{4}(16{a^2} - 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} )\) \(28{a^2} = 16{a^2} - 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} \) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  =  - 6{a^2}\) - Góc giữa hai vectơ được tính bởi: \(\cos \theta  = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {CD} |}}\) \(\cos \theta  = \frac{{ - 6{a^2}}}{{2a.2a\sqrt 3 }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Suy ra góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là \(\theta  = {150^\circ }\).