Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\) b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\) c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)

Lời giải chi tiết

Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh \(a\). a) Tính \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AH} \): - \(|\overrightarrow {BC} | = a\) - \(|\overrightarrow {AH} | = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \) - Góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AH} \) là \({45^^\circ }\) vì \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AH} } \right)} = 45^\circ \) Do đó: \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AH}  = |\overrightarrow {BC} | \cdot |\overrightarrow {AH} | \cdot \cos {45^\circ } = a \cdot a\sqrt 2  \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} = {a^2}\) b) Tính \(\overrightarrow {AF}  \cdot \overrightarrow {EG} \): - \(|\overrightarrow {AF} | = a\sqrt 2 \) - \(|\overrightarrow {EG} | = a\sqrt 2 \) - Góc giữa \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \) là \({60^\circ }\) vì \(\overrightarrow {EG}  = \overrightarrow {AC} \) mà tam giác ACF đều. Do đó: \(\overrightarrow {AF}  \cdot \overrightarrow {EG}  = |\overrightarrow {AF} | \cdot |\overrightarrow {EG} | \cdot \cos {60^\circ } = a\sqrt 2  \cdot a\sqrt 2  \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\) c) Tính \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE} \): - \(|\overrightarrow {AC} | = a\sqrt 2 \) - \(|\overrightarrow {FE} | = a\) - Góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {FE} \) là \({135^\circ }\) vì góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và vectơ đối của \(\overrightarrow {FE} \) là \(\overrightarrow {EF} \) là \(45^\circ \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {EF} } \right)} + \widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {FE} } \right)} = 180^\circ \) Do đó: \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE}  = |\overrightarrow {AC} | \cdot |\overrightarrow {FE} | \cdot \cos {135^\circ } = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \cos {135^\circ }\) Vì \(\cos {135^\circ } =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), ta có: \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE}  = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) =  - {a^2}\)