Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng $\Delta CAM\backsim \Delta CBN$ và $\Delta CHM\backsim \Delta CAN$

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\) Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên \(AH \bot BC\). Do đó, \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\) Tam giác ABC và tam giác HAC có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat C\) chung. Do đó, $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left( g-g \right)$ Suy ra, \(\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{2BN}}{{2AM}} = \frac{{BN}}{{AM}}\) hay \(\frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{AM}}{{BN}}\) Tam giác CAM và tam giác CNB có: \(\widehat {CAM} = \widehat B\left( { = {{90}^0} - \widehat {BAH}} \right),\frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{AM}}{{BN}}\left( {cmt} \right)\) Do đó, $\Delta CAM \backsim \Delta CNB \left( c-g-c \right)$ Vì $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\Rightarrow \frac{AC}{HC}=\frac{AB}{AH}=\frac{2AN}{2HM}=\frac{AN}{HM}$ hay \(\frac{{HC}}{{AC}} = \frac{{HM}}{{AN}}\) Tam giác CHM và CAN có: \(\widehat {CHM} = \widehat {CAN} = {90^0},\;\frac{{HC}}{{AC}} = \frac{{HM}}{{AN}}\left( {cmt} \right)\) Do đó, $\Delta CHM\backsim \Delta CAN\left( c-g-c \right)$